Informatika 2023-24: Pi zenbakia: Euler (1734, 1738)

2024(e)ko martxoaren 8(a), ostirala

Pi zenbakia: Euler (1734, 1738)

Leonhard Euler (Basilea, Suitza, 1707ko apirilaren 15a - San Petersburgo, Errusia, 1783 irailaren 18a) matematikaria eta fisikaria izan zen. Historiako matematikari handienetakoa, Arkimedesekin, Newtonekin, Leibnizekin eta Gaussekin batera; eta, argitaratutako lan kopuruari begiratuz gero, emankorrena, dudarik gabe. Orduko matematika-arlo ia guztietan ekarpen garrantzitsuak egiteaz gain terminologia eta notazio matematiko modernoaren sortzaileetakoa izan zen.

Eulerren formulak hartzen duen izena, Leonhard Eulerren omenez izan zen. Formula hau analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da).

e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\,\operatorname {sin} \left(x\right)

non :

x zenbaki erreala den;
e logaritmo naturalaren oinarria den;
i unitate irudikaria den;
sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

1734

1734. urtean Eulerrek formula hau proposatu zuen π konstantearen balioa kalkulatzeko:

Tamalez segida horren konbergentzia oso motela da, hurrengo programan ikus daitekeen bezala:

{ Eulerren formula PI kalkulatzeko:                    }
{ PI^2 = 6*(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...)       }
{ zoritxarrez segida honen konbergentzia oso motela da }
 
program pi_zenbakia_Euler1;
uses
   crt; 
const
   MUGA = 0.000000001;   { iKont kontagailua integer bada }
var
   rSegida, rBatugaia: real;
   iKont: integer;
   rDoikuntza: real;
begin
   clrscr;
   writeln('//////////////////////////////////////');
   writeln;
   repeat
      write('Kalkuluaren doikuntza eman (ehunmiloaren adibidez, 0.00000001): ');
      readln(rDoikuntza);
      if rDoikuntza < MUGA then
         writeln('Doikuntza ', MUGA:0:9, ' baino handiagoa izan dadila!');
   until rDoikuntza > 0.0;
   writeln;
    
   rSegida := 1.0;   (* lehen batugaia kanpoan *)
   iKont := 2;
   repeat
      rBatugaia := 1/(iKont*iKont);
      rSegida := rSegida + rBatugaia;
      writeln('iKont = ', iKont:5, 'rSegida^2 = ':16, rSegida:0:14, 'rBatugaia = ':17, rBatugaia:0:14);
      iKont := iKont + 1;
   until rBatugaia < rDoikuntza;
    
   rSegida := rSegida*6;
    
   writeln;
   writeln('rSegida^2 = ', rSegida:0:10);
   writeln;
   writeln('  rSegida = ', sqrt(rSegida):0:10);
   writeln('       PI = ', PI:0:10);
    
   writeln;
    
   writeln('//////////////////////////////////////');
   readln;
 end.

1738

1738. urtean funtzio trigonometrikoen formula hau proposatu zuen Eulerrek π konstantearen balioa kalkulatzeko:

arc tan (1) = arc tan (1/2) + arc tan (1/3) = π/4

Hona hemen, formularen azalpena:

Ikusi lehenik eta behin, eskumako irudian ematen diren bi triangeluak antzekoak direla: biek 90ºko angelu bat daukate, eta bi triangeluetan angelu txikienaren tangenteak 1/2 balio dute.

Triangelu handian hau betetzen da: b + c + 45º = 90º horregatik b + c = 45º betetzen da ere.

Baina, b = arc tan (1/2) eta c = arc tan (1/3) eta 45º=π/4

{ Eulerren formula trigonometrikoa PI kalkulatzeko:    }
{   arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3) =  π/4       }
 
program pi_zenbakia_Euler2;
uses
   crt; 
 
var
   rPIlaurden: real;
begin
   clrscr;
   writeln('//////////////////////////////////////');
   writeln;
    
   rPIlaurden := arctan(1/2) + arctan(1/3);
    
   writeln('rPIlaurden = ', rPIlaurden:0:20);
   writeln ;
   writeln('PI (Euler) = ', rPIlaurden*4:0:20);
   writeln('        PI = ', PI:0:20);
    
   writeln;
    
   writeln('//////////////////////////////////////');
   readln;
 end.